Родился в знатной, но небогатой дворянской семье.
Воспитывался в Сухопутном кадетском корпусе. По окончании курса оставлен при корпусе на службе.
В 1769-1771 гг. принимал участие в экспедиции графа Орлова против турок.
Продолжал служить в строю и дослужился до чина генерал-майора и должности командира полка.
В 1783 г. назначен губернатором в Ригу.
Его назначение совпало со временем введения в крае Учреждения о губерниях, Городового положения и Жалованной грамоты дворянству.
А.А. Беклешов проявил себя как энергичный деятель по проведению этих нововведений, которые были особо нелюбы дворянству.
В 1790 г. в чине генерал-поручика, императрицей Екатериной II, назначен наместником в Курско-Орловское наместничество (1790-1796), где ему пришлось вести борьбу с произволом помещиков и злоупотреблениями чиновников.
Во время его правления в Курске открылись, драматический театр (1792), первая в городе типография (1792), главное народное училище (1794) и др.
Впервые организовано регулярное освещение центральных улиц, сформированы полицейские и пожарные части.
"... Курскъ былъ раздѣленъ на четыре части, устроенъ полицейскій и санитарный надзоръ, учреждено 4 отдѣленія пожарной команды и начато освѣщеніе улицъ масляными фонарями. Въ полицейскомъ отношеніи городомъ завѣдывали городничіе..."
Занимался организацией в Курске запасных хлебных магазинов и улучшения положения общественного призрения.
В последние годы царствования Екатерины II А.А. Беклешова отстранили от двора.
Император Павел I по вступлении на престол вернул А.А. Беклешова на государственную службу.
2 декабря 1796 г. — назначен черниговским военным губернатором.
Позднее — начальник Подольской, Волынской и Минской губерний.
За службу пожалован, чином генерала от инфантерии, землями в Белгородском, Щигровском, Путивльском, Хотмыжском уездах Курской губернии и одной тысячей душ крестьян.
В 1798 г. А.А. Беклешов назначен сенатором, а через несколько месяцев — малороссийским и киевским генерал-губернатором.
И здесь он проявил те же качества, которые характеризуют прежнюю его административную деятельность, обретя расположение местного населения.
В июле 1799 г. назначен на пост генерал-прокурора.
В феврале 1880 г., выйдя в отставку, поселился в Риге.
Со вступлением на престол императора Александра I получил прежнюю должность генерал-прокурора и назначен членом Непременного совета для рассмотрения важнейших дел.
В 1804 г. — московсковский военный губернатор.
В апреле 1806 г. А.А. Беклешов окончательно вышел в отставку и вернулся в Ригу.
Скончался и похоронен в Риге.
Ист: КУРСКIЙ СБОРНИКЪ с путеводителем по городу Курску и планомъ города. Издание Курскаго губернскаго статистическаго комитета подъ редакцiей Секретаря Комитета Н.И. Златоверховникова. Типография Губернскаго Правленiя 1901 г.